1.0.2 - Sampling

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2025.04.01 초안 작성 1

1. Sampling

연속 신호를 일정한 시간 간격 Ts로 샘플링 함으로써 이산신호를 얻을 수 있다. 하지만 Sampling 과정에서 신호의 정보(진폭)가 손상될 수 있기에 신호를 복원하기 위해 충분히 빠른 sampling 주파수를 설정하는 것이 필요하다.

 

Time domain에서 sampling을 하는 과정은 신호와 impulse train을 곱하는 과정과 일치한다. 이는 주파수 domain으로 변형하여 보면 원래 신호의 single tone(하나의 주파수를 가지는 정현파 신호)이 fs(sampling frequency) 간격을 가지고 반복되어 다양한 주파수 성분을 가지는 정현파 신호로 나타남을 의미한다.

* 수식적 해석

코사인 신호를 임펄스 트레인에 곱한 결과를 CTFT 한다고 해보자

Cos 신호를 single tone을 갖게 되고 impulse train은 샘플링 주파수 fs간격으로 주파수 성분이 반복되게 된다.

이 두 신호를 주파수 도메인에서 콘볼루션 연산을 하게 되면 fs 간격을 가지고 cos신호의 스펙트럼이 반복되는 결과를 얻을 수 있다.

여기서 Nyquist band라고 불리는 base band의 스펙트럼에 다른 주파수 스펙트럼이 들어오는 현상을 Aliasing이 발생했다고 한다. 이 현상은 신호가 가진 원래 정보(진폭)을 왜곡시키기에 신호의 reconstruct를 방해한다. 정리하면 신호를 복원하기 위한 sampling 주파수의 최소 조건은 fs > 2f0 ( Let f0 is input signal with maximum frequency)이고 fs < 2f0라면 aliasing이 발생한다.fs = 2f0를 Nyquist rate라고 부르기도 한다. (sampling 주파수에 따라 impulse train의 폭이 변한다.)

위 그림은 aliasing이 일어나 base band의 주파수 성분이 왜곡된 현상을 나타낸다.

 

a) OSR(oversampling ratio)

 

b) AAF (Anti Alias Filter)

아날로그 신호를 디지털 신호로 변환하기 위한 첫 번째 단계는 Nyquist rate 이상으로 sampling하고 anti-aliasing을 하는 것이다. 이를 위한 filter를 AAF라 하고 아래에 정리해 두었다.

 

* Sampling 주파수와 양자화 오차의 상관관계

Sampling 주파수 fs와 quantization error와의 상관관계에 대해 알아보자

fs>>f로 주어져 fs가 f의 정수 배 관계를 갖지 않는다면 sampling 된 신호는 매번 다른 값을 가지게 될 것이다. 이는 그림 1.6 (b)가 이를 표현한다.

입력 사인파와 양자화 잡음은 서로 독립적(비상관관계)이라고 가정했기 때문에 전력계산에 중첩의 원리를 적용하여 양자화기 출력 v의 전력을 구하면 입력 사인파의 전력에 작고 넓게 구성되어 있는 quantization noise의 white noise가 더해진다.

(그림 2.7은 그림 1.6을 FFT한 결과이다.)

반면에 f=fs/8의 관계를 가지는 경우 sampling된 신호가 주기적으로 반복되어 e는 불균일하게 분포된다.

마찬가지로 출력 신호의 spectrum은 입력 사인파와 입력 신호의 3고조파에 집중된 quantization noise 전력을 포함한다.

 

이는 입력 주파수에 따라 quantization error의 분포가 달라지고 따라서 입력 신호의 주파수fin과 fs사이 최소 공배수를 키워 샘플링 신호된 신호의 주기성을 제거해야 white noise를 얻을 수 있음을 알 수 있다. 이는 후에 noise가 anti-aliasing filtering 되기 쉬움을 의미한다.